Q6 算数オリンピックファイナル1
図の7個の〇の中に、20以下の異なる素数を1個ずつ入れて、どの直線上の3個の素数の和もまたすべて素数になるようにします。そのような入れ方を1つ答えなさい。ただし、50までの素数は以下の通りです。
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
〇が7個なのに対して,20以下の素数は2,3,5,7,11,13,17,19の8個です.2以外の素数はすべて奇(き)数(すう)であり,偶(ぐう)数(すう)+奇数+奇数=偶数なので,2は使えないことになります.
これにより,使う7個の整数は3,5,7,11,13,17,19になります.
また,7個の〇のうち,外側の大きな三角形の各辺の真ん中にある3個の〇は2本の直線上にあり,その他の4個の〇は3本の直線上にあります.
一方,3個の和が素数になる組み合わせは,
①(3,5,11),②(3,7,13),③(3,7,19),④(3,11,17),
⑤(5,7,11),⑥(5,7,17),⑦(5,7,19),⑧(5,11,13),⑨(5,13,19),⑩(5,17,19)
⑪(7,11,13),⑫(7,11,19),⑬(7,13,17),⑭(7,17,19),
⑮(11,13,17),⑯(11,13,19),⑰(11,17,19)
の17通りです.
このうち,3がふくまれるのは①~④の4通りですが,このうち①と④,②と③はどちらも共通な2個の素数をふくんでいるので,同時に使うことができません.つまり,①~④の中で可能な組み合わせは,
ア.①(3,5,11)と②(3,7,13) イ.①(3,5,11)と③(3,7,19)
ウ.②(3,7,13)と④(3,11,17) エ.③(3,7,19)と④(3,11,17)
の4通りです.いずれも,3がふくまれる組み合わせは2通りしか選べないので,3は外側の大きな三角形の各辺の真ん中にある3個の〇のどれかに入ることがわかります.
実際に成立するのは,ア,イ,エの3通りです.3を下の段の中央に置いて,回転や反転したものを除(のぞ)いて調べると,下記の12通りあります.
これらを反転したり,回転したりすると,(12×3×2=)72通りあり,そのいずれかを書けば正解となります.
答え:72通りのうち1通りを書けば正解
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